On the representation as exterior differentials of closed forms with L 1 -coefficients
Sur la représentation comme différentielles extérieures des formes fermées à coeffcients L1
Abstract
Let $N\ge 2$. If $g\in L^{1}_{c}(\textbf{R}^{N})$ has zero integral, then the equation $div X=g$ need not have a solution $X\in W^{1,1}_{loc}(\textbf{R}^{N} ; \textbf{R}^{N})$ (Wojciechowski 1999) or even $X\in L^{N/(N-1)}_{loc}$ $(\textbf{R}^{N} ; \textbf{R}^{N})$ (Bourgain and Brezis 2003).
Using these results, we prove that, whenever $N\geq3$ and $2\le \ell\le N-1$, there exists some $\ell$-form $f\in L^{1}_{c}(\textbf{R}^{N} ; \Lambda^{\ell})$ such that $df=0$ and the equation $d\lambda=f$ has no solution $\lambda\in W^{1,1}_{loc}(\textbf{R}^{N} ; \Lambda^{\ell-1})$.
This provides a negative answer to a question raised by Baldi, Bruno and Pansu (2019).
Soit $N\geq 2$. Si $g\in L_{c}^{1}(\mathbf{R}^{N})$ est d'integrale nulle, alors en général il n'est pas possible de résoudre l'équation $div X=g$ avec $X\in W_{loc}^{1,1}(\mathbf{R}^{N};%
\mathbf{R}^{N})$ (Wojciechowski 1999), ou même $X\in L^{N/(N-1)}_{loc}$ $(\textbf{R}^{N} ; \textbf{R}^{N})$ (Bourgain et Brezis 2003).
En utilisant ces résultats, nous prouvons que, pour $N\geq 3$ et $2\leq \ell \leq N-1$, il existe une $\ell$-forme $f\in L_{c}^{1}(%
\mathbf{R}^{N};\Lambda ^{\ell })$ avec $df=0$ et telle que l'équation $%
d\lambda =f$ \ n'ait pas de solution $\lambda \in W_{loc}^{1,1}(\mathbf{R}%
^{N};\Lambda ^{\ell -1})$. Ceci donne une réponse négative à une question posée par
Baldi, Bruno et Pansu (2019).
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Comment : Ce pdf est la version preprint de l'article (version soumise à l'éditeur, avant peer-reviewing)
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